Ảnh hưởng của Toán học

GS Nguyễn Xuân Vinh có phổ biến một bài viết tựa đề là “Học Toán để làm gi” GS kết luận bài viết của mình bằng vài câu chuyện về ảnh hưởng của toán học đền mọi ngành.
Phần kết luận đó được  trích đăng ở đây, dưới tựa “Ảnh hưởng của Toán học”,  mong được GS cho phép.

Ảnh hưởng của toán học

Ý niệm về toán học đã đến với loài người từ thuở nguyên thủy, khi con người biết suy nghĩ, biết phân biệt những đại lượng là lớn hay nhỏ, nhiều hay ít, biết dòng thời gian là trước hay sau khi ngắm vũ trụ chuyển vần, và thời tiết thay đổi trong năm. Trí tuệ nẩy nở dần dần đã giúp cho loài người xây dựng nên lâu đài toán học để phục vụ cho đời sống và giờ đây toán học đã là công cụ cần thiết để khai triển và hoàn tất mọi ngành hiểu biết của loài người dù là khoa học thuần túy hay xã hội học, hay kinh tế, nhân văn. Để đưa ra chứng dẫn, tôi muốn kết luận bài viết này bằng vài câu chuyện về ảnh hưởng của toán học đền mọi ngành.

1. Nhà bác học vĩ đại của thế kỷ 20 là Albert Einstein đã công bố “lý thuyết tương đối đặc biệt” của ông vào năm 1905, và đặt ra một cơ sở để mở ra chân trời tươi sáng cho vật lý học hiện đại. Sau đó, từ vài giả thuyết ban đầu và dùng phương pháp tư duy toán học chặt chẽ ông đã đi đến kết luận rằng khi ánh sáng đi qua một thiên thể nào đó thì do sức hút của thiên thể, tia sáng sẽ bị bẻ cong đi. Ông viết một công trình nhan đề “Về ảnh hưởng của trọng trường đối với tia sáng” và công bố “lý thuyết tương đối tổng quát” vào năm 1915. Nhưng muốn kiểm nghiệm bằng thực tế, ta phải dùng tia sáng đến từ các vì sao và sức hút của mặt trời là một thiên thể lớn có trọng lượng lớn hơn của trái đất 300 ngàn lần. Nhưng vì mặt trời lúc nào cũng sáng chói lọi nên thường ngày ta không thể nào quan sát những tia sáng các vì sao mà chạy qua gần mặt trời xem có bị bẻ cong đi hay không. Bốn năm sau, vào ngày 29 tháng 5 năm 1919, có nhật thực toàn phần và mặt trời bị mặt trăng hoàn toàn che khuất. Lúc đó người ta có thể quan sát những vì sao ở phía sau mặt trời, giờ đã trở nên tối đen. Hội khoa học Hoàng gia Anh quốc đã cử hai phái đoàn, một phái đoàn đi Brazil ở Nam Mỹ để quan sát và một phái đoàn thứ hai gồm nhiều khoa học gia dưới sự hướng dẫn của nhà thiên văn học Eddington đã tới đảo Principe ở Tây Phi châu để đo độo lệch khi đi qua mặt trời của các tia sáng đến từ các vì sao. Kết quả đo được là tia sáng đã bị lệch đi 0.0005 độ tức là gần đúng với kết quả đã được tính trước bằng toán của Einstein là 1.75 giây = 0.000486 độ.

2. Một thí dụ kỳ diệu khác nữa về khả năng suy luận của toán học là sự  tạo thành bảng các nguyên tố hóa học của nhà bác học người Nga Dmitry Ivanovich Mendeleyev (1834-1907). Ông đã không cần qua đường thực nghiệm, dùng những chai lọ thủy tinh, ống dẫn và các nồi chưng cất như thấy ở trong các phòng thí nghiệm, mà đã vận dụng lý thuyết cấu trúc để sắp xếp các nguyên tố hóa học vào một bảng hệ thống tuần hoàn mà giờ đây các học sinh trung học ai cũng phải học. Để xác định các nguyên tố này, Mendeleyev đã dựa vào tương quan định lượng giữa các nguyên tố, và tương quan này có tính chất thuần túy toán học. Bảng Mendeleyev khi đặt ra có nhiều ô trống và năm 1871 ông đã dự đoán rằng trong thiên nhiên có một số nguyên tố hóa học chưa được phát hiện. Nhà hóa học này đã đặc biệt mô tả cặn kẽ những tính chất của ba nguyên tố trong những ô để trống. Liền trong những năm sau thì vào năm 1875 một nguyên tố được phát hiện ở Pháp và được đặt tên là Gallium. Năm 1879 người ta tìm được nguyên tố mới ở Thụy Điển và được đặt tên là Scandium và sau đó vào năm 1886 nguyên tố mới được phát hiện ở Đức đã được đặt tên là Germanium. Những phát minh này đã làm phấn khởi các khoa học gia trên toàn thế giới và nhờ ở sự hướng dẫn toán học của bảng Mendeleyev mà ngưới ta đã hoặc tìm ra hay tạo thêm ra nhiều nguyên tố mới, nay được mang tên các miền như Europium (1901), Americum (1946), Berkelium (1950), hay tên những vĩ nhân trong lâu đài khoa học như Curium (1946), Fermium (1955), Einsteinium (1955), Nobelium (1957) vân vân …

3. Khi còn học ở những lớp dưới bậc trung học, đôi khi ta phải giải những bài toán hình học như là vẽ một vòng tròn chạy qua ba điểm, hay giải những bài toán đại số như là tìm phương trình của một hình el-lip chạy qua năm điểm, và đôi khi ta cũng tự hỏi là làm được những điều này thì có ích lợi gì trong thực tế. Những chuyên gia toán pháp thường không phải là những người muốn làm giầu khi phục vụ cho toán học mà chỉ lấy niềm vui khi tìm được một định lý mới hay giải xong một vấn đề hóc hiểm để làm phần thưởng tinh thần. Đôi khi có những bài giải toán tưởng như chỉ để trả lời một thách đố của thời đại và không có ích dụng gì trong thực tế, vậy mà mấy trăm năm sau lại trở thành hệ trọng cho sự tồn vong của loài người . Để lấy một thí dụ, tôi xin kể tiếp một câu chuyện về thiên văn.

Mặt trời là một ngôi sao trung bình và là tâm hấp lực của những hành tinh và những sao chổi làm thành Thái Dương Hệ của chúng ta. Trong vũ trụ có thể có nhiều ngôi sao khác có những hành tinh quay chung quanh và làm thành những thái dương hệ tương tự. Kể cả trái đất, có tất cả 9 hành tinh quay quanh mặt trời theo những qũy đạo là những hình el-lip mà mặt trời là một tiêu điểm. Lấy khoảng cách trung bình từ trái đất đến mặt trời làm đơn vị thì, kể từ trong ra ngoài, ta có những hành tinh sau đây cùng với khoảng cách trung bình tới mặt trời ghi ở cột cuối

Thủy tinh (Mercury) 0.387; Kim tinh (Venus) 0.723; Trái đất (Earth) 1.0
Hỏa tinh (Mars) 1.524; Mộc tinh (Jupiter) 5.203; Thổ tinh (Saturn) 9.539
Thiên Vương tinh (Uranus) 19.18; Hải Vương tinh (Neptune) 30.07;
Diêm Vương tinh (Pluto) 39.44

Trừ trái đất ra thì năm hành tinh đầu đã được tìm thấy từ thời cổ. Ba hành tinh sau cùng lần lượt được tìm thấy vào những năm 1781, 1846 và 1930. Vào năm 1772 một nhà thiên văn học người Phổ tên là Bode đã đặt ra một số liệt khá diệu kỳ để cho những khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời . Mới đầu ta viết ra một hàng số

0 3 6 12 24 48 96 192

Bắt đầu từ số thứ hai, mỗi lần nhân đôi lại được số tiếp nối. Sau đó cộng thêm 4 để được một dẫy số khác .

4 7 10 16 28 52 100 196

Bây giờ nếu đem chia cho 10 thì sẽ được một hàng số cho khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời

0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6

Ta nhận thấy bốn số đầu cho gần đúng những khoảng cách của Thủy tinh (0.387), Kim tinh (0.723), trái đất (1.0) và Hỏa tinh (1.524). Con số thứ năm là 2.8 thì không đúng vào hành tinh nào cả. Những số tiếp sau là 5.2, 10 và 19.6 có thể dùng để chỉ những khoảng cách tới mặt trời của Mộc tinh (5.203), Thổ tinh (9.539) và Thiên vương tinh (19.18). Lối tính này được người ta gọi là định luật Bode nhưng định luật này không được coi như là một định lý toán học vì không dựa lên một lý luận chặt chẽ nào cả. Ngoài tính cách huyền bí, định luật Bode cũng nhiều lúc gây sôi nổi trong giới khoa học. Sau khi định luật được loan ra mấy năm thì nhà thiên văn học Anh quốc Hershel (1738-1822) tìm thấy Thiên vương tinh vào năm 1781 ở khoảng cách trung bình là 19.18 cũng gần trùng hợp với dẫy số của Bode. Điều lạ kỳ là giữa Hoả tinh và Mộc tinh có một khoảng trống, không có hành tinh nào, mà theo định luật Bode thì lại có khoảng cách 2.8. Vào năm 1801 người ta phát hiện ra một hành tinh nhỏ trên bầu trời. Vừa đặt tên hành tinh là Cérès thì tiểu hành tinh này mà bề ngang chưa tới một ngàn cây số đã đi vào khoảng trường vũ trụ khó quan sát từ trái đất vì vướng ánh dương quang. Người ta chỉ còn ghi được một vài tọa độ trước đây của Cérès mà điều khó khăn hơn nữa là vào thời ấy các nhà thiên văn học chỉ dùng kính quan sát để đo được hướng nhắm mà không có cách nào để đo khoảng cách. Nhà toán học Đức quốc lừng tiếng thời bấy giờ, và có lẽ cả thiên thu sau này, là Carl Friedrich Gauss (1777-1855) đã bắt tay vào việc và ông đã tính ra được qũy đạo của Cérès với khoảng cách trung bình tới mặt trời là 2.67. Chiếu theo dự tính của Gauss, các nhà thiên văn học quan sát vùng trời ấy và tìm lại được tiểu hành tinh Cérès. Cuộc truy tìm những hành tinh nhỏ mới lạ tiếp diễn và sau đó các nhà thiên văn học lại tìm thêm ra được mấy trăm tiểu hành tinh chạy theo những hình el-lip để làm thành một vòng đai chung quanh mặt trời với cận điểm vào khoảng 1.76 và viễn điểm đi xa tới 4.25 đơn vị khoảng cách thiên văn mà ta đã lấy là khoảng cách trung bình từ trái đất tới mặt trời. Như thế thì định luật Bode cũng còn đúng cho vùng không gian giữa Hỏa tinh và Mộc tinh. Sau những phép tính của Gauss, nhiều nhà toán học chú ý đến phép tính những qũy đạo của các hành tinh ở xa mặt trời nhưng lại gần những hành tinh lớn khác để có thể bị nhiễu loạn. Nhà thiên văn học Pháp là Le Verrier (1811-1877) nhận thấy rằng qũy đạo của Thiên vương tinh đi lệch không đúng như tiên đoán. Ông đặt giả thuyết rằng có một hành tinh nữa ở ngoài Thiên vương tinh và vì thế trọng trường của nó có tác dụng nhiễu loạn vào hành tinh này. Sau khi đã làm nhiều bài tính phức tạp, ông cho biết những phần tử về quỹ đạo của một hành tinh mà ông phỏng đoán sự hiện hữu trước đây. Ngày 18 tháng Chín năm 1846, Le Verrier viết cho nhà thiên văn học Galle ở Berlin và nhờ tìm kiếm hành tinh đó ở điạ điểm ông dự đoán bằng phép tính. Năm hôm sau, vào ngày 23 tháng Chín, Galle đã tìm thấy hành tinh mới, sau này đươc đặt tên là Hải vương tinh, chỉ cách vị trí Le Verrier dự đoán có 1 độ mà thôi. Khoảng cách trung bình cuả Hải vương tinh đến mặt trời là 30.1, nghiã là sai lệch nhiều so với khoảng cách 38.8 tính theo luật Bode. Sau này khi tìm thêm ra Diêm vương tinh vào năm 1930 thì sự sai trật lại còn lớn hơn nữa và luật Bode chỉ còn được coi như là một phương thức tình cờ dùng để nhớ nhũng khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời mà thôi.

Quay trở lại phương pháp tìm quỹ đạo của Cérès do Gauss đã đề ra, lúc mới đầu các nhà toán và thiên văn học chỉ biết khâm phục tài năng xuất chúng của nhà bác học, với những giữ kiện không đầy đủ, chỉ có hướng nhắm mà thôi, ở một vài thời điểm quan sát, mà cũng tìm được ra qũy đạo cả về chiều dài và rộng, độ nghiêng, và nhất là theo dõi được chuyển động của hành tinh ở trên quỹ đạo này. Những hành tinh nhỏ, nhiều khi chỉ được coi như  những tảng đá trời bề rộng chỉ là vài cây số, nhưng được tìm thấy càng ngày càng nhiều, bằng những kính thiên văn tối tân vằ phim ảnh nhậy cảm, và vào đầu thiên niên kỷ thứ ba thì tính ra người ta đã ghi nhận được gần mười ngàn tiểu hành tinh làm vòng đai chạy giữa Hỏa tinh và Mộc tinh. Một vài tiểu hành tinh chạy theo những hình el-lip thật dài và có điểm cận nhật lọt vào trong qũy đạo của Hỏa tinh. Chẳng hạn tiểu hành tinh Eros, tìm thấy năm 1898 đã có lần tới sát địa cầu có một khoảng bằng 0.13 đơn vị dộ dài thiên văn mà thôi. Người ta đã lo sợ rằng có những hành tinh nhỏ bị nhiễu loạn bởi những hành tinh lớn mà có thể chuyển hướng mà va chạm với trái đất và vào cuối thế kỷ 20, đã có những chuyên gia nghiên cứu phương thức để thay đổi qũy đạo tiểu hành tinh. Trên mặt địa cầu giờ đây cũng có những đe dọa khác. Một vài hỏa tiễn có sức phá hoại mãnh liệt, nếu lọt vào tay những kẻ sát nhân hay điên khùng cũng có thể gây nên những tai hoạ khôn lường cho nhân loại. Vì vậy trong những phương thức dùng hỏa tiễn để chống hỏa tiễn, tính được đường đạn đạo của kẻ địch một cách nhanh chóng là điều tối cần thiết và phương pháp tính của Gauss, giờ đây được tu chỉnh để làm cho hoàn hảo và chính xác hơn nhờ có thêm giữ kiện về khoảng cách đo được bằng ra-đa, đã là bằng chứng rằng toán học phục vụ cho hoà bình.

Trong các thế kỷ trưóc đây, sinh vật học được coi là một ngành xa lạ với toán học. Vậy mà từ thế kỷ 19 và sang đầu thế kỷ 20, khoa học đó ra sức lôi kéo toán học về phía mình. Càng đi dần vào khảo cứu, các nhà sinh vật học càng thấy cần đến toán học, và nhiều người đã trở thành những nhà toán học lỗi lạc. Để phát triển học thuyết di truyền, rất nhiều nhà sinh vật học đã tốn công sức xây dựng lý thuyết mô hình, lý thuyết xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết tổ hợp … là những lý thuyết toán học khá phức tạp.

Muốn đi vào nghiên cứu và phát minh, toán gia cần phải có một bộ óc giầu tưởng tượng, phải có chút ít thơ mộng , vượt qua những tầm thường của thế tục.

Nhà toán học Đức quốc lừng danh Karl Weierstrass (1815-1897) của thế kỷ 19 đã viết rằng: “It is true that a mathematician who is not also something of a poet will never be a perfect mathematician”, tạm dịch là : “Thật đúng vậy là một toán gia nếu không cùng một lúc là một thi sĩ thì không thể nào là một toán gia vẹn toàn được”. Vì tin ở lời nói của Weierstrass, là một toán gia tôi rất hâm mộ, nên đôi khi trăn trở về một bài toán mà tôi chưa tìm ra được lời giải toàn vẹn, một lời giải chưa thật “élégant” như  đôi khi tôi đã phát biểu trong lớp đang dậy, tôi cũng đã từng đổi bút, làm thơ. Dưới đây là một bài tiêu biểu.

Tình Hư Ảo


Anh tìm em trên vòng tròn lượng giác,
Nét diễm kiều trong tọa độ không gian.
Đôi trái tim theo nhịp độ tuần hoàn,
Còn tất cả chỉ theo chiều hư ảo.
Bao mơ ưóc, phải chi là nghịch đảo,
Bóng thời gian, quy chiếu xuống giản đồ.
Nghiệm số tìm, giờ chỉ có hư vô,
Đường hội tụ, hay phân kỳ giải tích.
Anh chờ đợi một lời em giải thích,
Qua môi trường có vòng chuẩn chính phương.
Hệ số đo cường độ của tình thương,
Định lý đảo, tìm ra vì giao hoán.
Nếu mai đây tương quan thành gián đoạn,
Tính không ra phương chính của cấp thang.

Nguyễn Xuân Vinh

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: