Archive for September, 2011

Hệ Quả bất ngờ của một Định Lý Toán Học

Trong khoảng chưa đầy 30 năm đầu của thế kỷ 20, Khoa học đã được chứng kiến ba chấn động lớn : Vào năm 1905 và 1915  Einstein công bố Thuyết tương đối. Năm 1926, những công trình hoàn chỉnh đầu tiên của Cơ học lượng tử  ra đời, với một số nguyên lý cơ bản, được coi mở ra một con đường mới, làm biến đổi hình ảnh về Vũ trụ vốn có ở  con người, một cuộc biến đổi còn triệt để hơn cả sự  biến đổi mà cuộc cách mạng Copernic đã tạo ra, đặc biệt vang dội là Nguyên lý bất định do nhà vật lý người Đức W. Heisenberg trình bày trong năm 1927, cùng dịp với Đại hội Copenhague, đánh dấu sự  thành lập chính thức Lý thuyết Lượng tử. Bốn năm sau, năm 1931, Nhà toán học người Áo Kurt Göđel công bố một định lý làm chấn động Thế giới Toán học, được đánh giá là kỳ lạ nhất và cũng là bí hiểm nhất trong Toán học. Định lý có nội dung như  sau : Đối với các hệ thống Toán học hình thức hóa với một hệ tiên đề đủ mạnh, thì, một là, hệ thống đó không thể vừa là nhất quán, vừa là đầy đủ. Hai là, tính nhất quán của hệ tiên đề không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó.

 

Khác với hai lý thuyết Vật lý vừa nêu, định lý Toán học mang tên Kurt Gödel (hay còn gọi là định lý Bất toàn) không gây ra một không khí xôn xao sâu rộng như  hai thuyết Vật lý cùng thời, và do đó rất ít người biết đến. Vì sao như  vậy? Theo lý giải của nhiều học giả thì trước hết là người ta cho rằng, định lý Toán học chỉ có giá trị lý thuyết nhiều hơn. Nhưng có lẽ có một lý do khác mà không ít Nhà toán học không muốn đề cao tầm quan trọng của định lý, bỡi vì nhưng hệ quả Triết học của nó làm tiêu tan niềm xác tín đầy cao ngạo của họ đối với vai trò độc tôn của Toán học nói riêng và của Khoa học nới chung.

Với định lý Bất toàn, thì dù Toán học, xưa nay, vẫn tự  hào là một hệ thống lôgic nghiêm ngặt với một nền tảng vững chắc nhất, cũng phải chịu một qui luật “Có thể sai” như  các Khoa học khác !

Những biến đổi cách mạng tư  duy trong Vật lý học hiện đại xuất phát từ  sự  thật rằng, không thể hy vọng đứng bên trong Thế giới duy lý mà biết hết mọi thứ . Thế giới Tự  nhiên quả thực có nhiều thứ  lạ lùng hơn mọi điều mà trí tuệ duy lý của chúng ta có thể nắm bắt được.

Suy rộng định lý Gödel, ta có thể hiểu là : Bất cứ  một lý thuyết nào mà con người xây dựng nên, đều chỉ phản ảnh một tình huống nhất định của nhận thức. Từ  bên trong một tình huống, không thể hiểu hết mọi chuyện trong tình huống đó, chỉ khi đứng ngoài tình huống đó thì may ra mới đạt tới một bức tranh sâu rộng hơn để có thể nhận ra toàn bộ mối quan hệ tạo nên cấu trúc bên trong của nó.

Trong cuộc sống đời thường, ta thường nghe câu triết lý : “ người trong cuộc không sáng suốt bằng kẻ đứng ngoài cuộc”. Đó là một trải nghiệm xuyên thời gian của Thế thái nhân tình, nhưng lại có nguồn gốc từ  bản thể của Tự  nhiên như  một hệ quả Triết học của định lý bất toàn.

Hoặc nói cách khác, rằng : “Anh nói cho tôi biết người bạn thân thiết nhất của anh là người như  thế nào, tôi sẽ nói cho anh biết, anh là người như  thế nào”. Điều đó có nghĩa là, ta không bao giờ biết đầy đủ  chính ta, nếu không đặt mình từ  bên ngoài để nhìn lại mình.

Nếu tham vọng của Nhà toán học vĩ đại Hilbert muốn xây dựng một nền tảng Toán học nhất quán và phi mâu thuẫn, bị Định lý Gödel làm cho sụp đổ, thì trong công cuộc phát triển Kinh tế Xã hội, ở thời điểm hiện tại, nếu chưa xác định một cách nhất quán mô hình của nền kinh tế đất nước, thì việc hoạch định những dự án, dựa trên cơ  sở “tư  duy duy lý”, với một tầm nhìn hàng nửa thế kỷ, là một sự lựa chọn tiềm ẩn nhiều nguy cơ mất bền vững.
Những bài học phải trả giá đắt do dự  báo sai về tầm nhìn phát triển, mà nhiều Quốc gia đã nếm trải, là một thực tế không thể không ghi nhớ.

Nhiều Nhà khoa học, kể cả các Nhà vật lý, đã nhận rõ là cần vượt ra ngoài biên giới của mọi qui giản về tư  duy duy lý để có thể nhận thức đầy đủ hơn về Thế giới, mà Trí tuệ không bao giờ có thể thấu hiểu hòan toàn.

Trong một bài giảng của mình vào năm 1933, Einstein nói : “Nếu anh muốn biết phương pháp mà Nhà vật lý lý thuyết đã dùng, thi tôi cho anh một lời khuyên : Đừng nghe họ nói mà hãy xét những thành tựu của họ . Bởi vì đối với một Nhà phát minh, kiến trúc của trí tưởng tượng xuất hiện một cách tự  nhiên như  nó phải thế, chứ  không phải là sáng tạo của tư  duy”. Cùng mạch suy nghĩ này, trong một bài báo Khoa học Giáo sư Toán học Phan Đình Diệu viết : “Để cho Khoa học cung cấp cho con người nhiều hiểu biết hơn về Thiên nhiên, về Vũ trụ, về cuộc sống. đã đến lúc mà Tư  duy cơ giới với Tất định luận, chỉ với những phương pháp phân tích, suy luận duy lý và qui giản… không còn phù hợp nữa, mà cần được bổ sung những quan điểm tư  duy mới, sử  dụng những công cụ và phương pháp mới, vận dụng thêm những năng lực cảm thụ khác vốn có, trên cơ  sở các quan điểm và phương pháp mới đó để cảm nhận và tìm hiểu các đối tượng nhận thức của mình. Mà đối tượng nhận thức của con người thì trước hết phải là những vấn đề của đời sống bình thường, thuộc kích cỡ  con người”.

Điều thú vị là định lý Gödel, ngoài động lực thúc đẩy một cuộc cách mạng tư  duy về phương pháp luận khoa học, nó còn làm nảy sinh một nghịch lý về khái niệm “Mê tín” mới :  Nhiều thế hệ các nhà khoa học mải mê trên con đường đi sâu mãi vào lòng vật chất của Thế giới , bằng tư  duy qui giản, cắt vụn hiện thực, rồi xem cái mẩu được cắt ra đó là chính hiện thực, bằng những lời “đại ngôn”, làm không ít các Nhà khoa học và Triết học có lương tri phải lên tiếng, coi đó là sự “kiêu căng thái quá”. Và chính nó đã gây ra một ảo tưởng. rằng ngày nay mọi vấn đề của khoa học đời thường đều đã được giải quyết. Ảo tưởng đó đã trở thành niềm xác tín mang tính thần lực, mà người đời cũng xem nó là một thứ  bệnh “Mê tín”. Hóa ra nhận thức cũng có sự  đối xứng : “Mê tín Thần thánh” và “Mê tín Khoa học”. Mà mê tín nào thì cũng đã từng gây ra không ít đổ vỡ và bi kịch trần gian,

Trong lúc cuộc cách mạng tư  duy cuốn hút trí tuệ thời đại trên con đường tiếp cận chân lý của hiện thực bằng Chiến lược Hệ thống, thì Triết lý Giáo dục lại đi theo một tiến trình ngược lại : Sự chia nhỏ manh mún gọi là “chuyên sâu”, sự phân Ban, lao sâu vào những cuộc thử  nghiệm chuyên biệt…, ngay tại cấp học gọi là Phổ thông, với ý tưởng đi tìm đỉnh cao Tri thức. Ở đây, đối tượng của giáo dục là Con người để Làm người, như  một tổng thể của hiện thực, đã bị xóa mất.

Edgar Morin Nhà triết học Giáo dục đã đặt Giáo dục trước những vấn đề thách thức trong một Thế giới toàn cầu hóa, mà sự  hội nhập của các Quốc gia Dân tộc, là một tất yếu, trong đó, Ông nhắc lại câu nói của Nhà văn Mỹ Eliot, như  một tiếng kêu : “Minh triết đâu rồi, chỉ còn lại Tri thức ! Tri thức đâu rồi, chỉ còn lại Thông tin ! “. Hình như  nền Giáo dục của chúng ta đang có ít hơn thế nữa. Nó kiến tạo những Trí thức và Thông tin bị băm vụn, dần trở thành những giáo điều ngấm vào nhận thức của hôm nay. Cuối cùng , cũng không thể không nhớ  đến câu nói nổi tiếng của Nhà Giáo dục vĩ đại J. Rousseau : “Việc học tập đích thực của chúng ta là học tập về thân phận của Con người”.

 

Edgar Morin, đang nói đến việc học tập thân phận Con người trong một Thế giới biến đổi chưa từng có như  ngày hôm nay.
Định lý Gödel ra đời, đến nửa thế kỷ sau, người ta mới thấy ý nghĩa to lớn của nó đối với Khoa học và Triết học. Từ  sự  hạn chế của các hệ lôgic của chính bản thân Toán học, người ta vỡ lẽ ra lý do khiếm khuyết và hạn chế trong các cấu trúc lôgic nhân tạo.

Trong công nghệ tính toán, Computer với tư  cách là một hệ lôgic cả phân cứng lẫn phần mềm, nó cũng chấp nhận sống chung với sự “bất toàn” như  một phần cơ thể của chính nó : Đó là sự  cố Treo máy, sự  cố Virus, Chương trình tối ưu, mà bất kỳ ai sử  dụng computer đều được nếm trải.

Alan Turing, cha đẻ của máy tính điện tử  hiện đại, với mô hình Toán học Máy Turing, từ những năm 1950, ông đã tiên đoán “Sự  cố  Treo máy” như  một bài toán nổi tiếng mãi về sau này. Đồng thời cũng cho biết rằng, không thể khắc phục tuyệt đối bằng việc viết ra một chương trình có khả năng loại bỏ bất kỳ chủng virus nào. Gần đây nhất, G. Chaitin, Nhà Toán học thuộc IBM, đã chứng minh một hạn chế nữa, rằng không thể viết một chương trình tối ưu cho một mục tiêu định trước. Chỉ có thể viết một chương trình tốt hơn một chương trình đã có. Tất cả những hạn chế này đều có cơ  sở  lôgic là Định lý bất toàn Gödel.

Một vấn đề cũng có sức thu hút trí tuệ trong Thế kỷ hai mươi mốt, đó là “Trí thông minh nhân tạo”, với câu hỏi nóng bỏng nhất : “Trong tương lai, chúng ta có thể chế tạo những Robot thông minh như  con người hay không ?”. John Arrow, giáo sư  Đại học Sussex (London), đã lấy tư tưởng của Định lý bất toàn viết nên tác phẩm, có tiêu đề Imposibihty (Bất khả), nêu lên luận đề Giới hạn của Khoa học và Khoa học về các Giới hạn, cũng đã lấy Định lý bất toàn Gödel làm cơ sở để trả lời câu hỏi nóng bỏng trên : Bộ não con người, với tư  cách là một hệ lôgic, không bao giờ hiểu biết hết chính mình, thì cũng sẽ chẳng bao giờ chế tạo được “Bộ não” thông minh giống mình. Robot được trang bị “Bộ não nhân tạo”, dù thông minh đến đâu, thì cũng chỉ có thể “suy nghĩ” dựa trên một tập hợp hữu hạn các tiên đề (chương trình). Trong khi đó não con người có thể có nhưng phát kiến bất chợt : Những cảm nhận Trực giác xuất thần không dựa theo bất kỳ một hệ thống lý thuyết nào.

“Khoa học về Giới hạn” mà Barrow nêu lên, không hạ thấp vai trò Khoa học, mà chính là để định hướng đi cho Khoa học, phát triển mà không xa rời bản chất của hiện thực. Như  Nhà Vật lý Vũ trụ Stephen Hawking đã từng nói : “Khoa học Vật lý có thể hoàn thành sứ  mệnh của mình mà không có câu trả lời cho một vài câu hỏi cơ bản nhất của Tự  nhiên”, cũng là vì lý do hạn chế đó.

Định lý Bất toàn Gödel là một trong những Định lý vĩ đại nhất được chứng minh trong Thế kỷ XX. Nhà Toán học người Mỹ William Denton tuyên bố: “Định lý Bất toàn Gödel xếp ngang hàng với thuyết Tương đối của Einstein và nguyên lý Bất định của Heisenberg ! “

Leave a comment »

Sự nổi loạn của số không

Cùng nghe câu chuyện về anh em nhà số qua góc nhìn thật hóm hỉnh của anh chàng điển trai tên là số BA nhé.

Mỗi ngày hiểu biết thêm

Thưa quý vị, tôi là một số 3. Chúng tôi có đến 9 anh chị em, là các số tự nhiên từ  số 1 đến số 9.

Mỗi người mỗi vẻ,

Số 1 thích khuyên răn người khác.

Số 2 chuyên gia buôn dưa lê.

Còn tôi thầy bói phán là số chưa hoàn thiện, lúc nào cũng có xu hướng đi tìm một nửa (bên trái) của mình.

Số 4 thích biểu diễn xiếc thăng bằng trên ghế.

Số 5 hoang tưởng mình là siêu mẫu, gặp ai cũng hỏi: “Thử  xem có ai hài hòa những nét thẳng và cong như tôi không”. Đến nỗi chỉ nghe nó nói thử ngắm là mọi người đã đồng thanh: “Biết rồi, thẳng và cong”

Số 8 cận lòi, thích đọc sách và xem ti vi. Mà cũng lạ, một đứa nhút nhát như nó lại rất thích xem phim hành động. Hỏi mãi, nó mới thú nhận : “Thỉnh thoảng trên mấy cái phim đó, họ nhắc tới em”. Chúng tôi xem thử, hóa ra là còng số 8.

Ngộ nhất là thằng số 9. Thỉnh thoảng, cao hứng, nó lại biểu diễn trồng cây chuối thành số 6.

Thằng số 6 thì nằng nặc đòi học trò này để… lừa  số 7 gọi là anh.

Ngày tháng êm đềm trôi qua cho đến khi thằng số 0 xuất hiện .

Chắc các bạn tưởng chúng tôi là cùng một mẹ, nhưng thực ra 9 anh chị em chúng tôi do người Ả Rập phát minh ra, còn thằng số 0 sinh sau đẻ muộn, quê quán hình như là Ấn Độ thì phải.

Ban đầu, chúng tôi thấy cái thằng tròn như  quả dưa này cũng dễ thương. Nó cứ  xách dấu cộng dấu trừ  lăng xăng khắp nơi.

Rồi nó lại nghĩ ra trò biến hình, nó đang đứng đằng trước, thoắt cái, nó vòng ra đằng sau và hấp… bạn bỗng lớn lên gấp 10 lần. Đôi khi nó cũng nghịch quá trớn khi gọi mọi người đến xem siêu mẫu 50 tuổi chẳng hạn.

Nhưng tai họa thật sự  bắt đầu khi cậu chủ học phép nhân và thằng số 0 lĩnh hội được cách xài dấu nhân. Hễ nó đứng cạnh ai là người đó biến thành số 0 y như nó. Cái dấu nhân trong tay nó biến thành một vũ khí khủng bố siêu hạng. Và thằng số 0 cũng rất nhanh, từ  1 đứa trẻ hay nghịch dại trở thành kẻ quy định luật chơi. Nếu có ai thử  mở miệng phản đối sẽ có một số 0 nữa. Mọi người đều im như  thóc dưới triều đại của số 0.

Người đưa chúng tôi thoát khỏi cảnh hiểm nghèo là số 8. Một buổi tối, trong lúc tất cả mọi người im lặng, đăm chiêu nghĩ tới ngày mai, thì số 8 thì thầm: ” Em nghe nói, bên cặp của cậu chủ lớn học lớp 11 có 2 anh Vô-Cùng-Lớn. Nghe nói họ có thể xơi tái số 0″.

Chúng tôi dấy lên một hy vọng mong manh. Một buổi tối, tất cả bí mật kéo sang cặp cậu chủ lớn. Thoạt tiên, chúng tôi cứ  ngỡ đó là 2 sư  phụ của số 8, bởi họ giống hệt số 8 nằm ngang. Hai anh có vũ khí là dấu + và dấu -. Các anh tự  giới thiệu mình là những : Dương Vô Cùng và Âm Vô Cùng.

Không hiểu có kẻ nào chỉ điểm, thằng số 0 cũng lạch bạch chạy sang, nó xách theo một dấu nhân to tướng. Nó nhìn hai anh Vô Cùng Lớn liền hăng máu vịt xông đến và ngay lập tức biến mất.

Anh Dương Vô Cùng cười lớn:

” Ngoài số học còn có đại số. Chúng bay đừng tưởng làm loạn được với cái dấu nhân kia!”.

Anh Âm Vô Cùng nói tiếp :

“Toán học mênh mông như  trời. Chỉ một thời gian ngắn nữa thôi, các em sẽ biết đến dấu chia. Nếu các số 0 sử dụng dấu chia này thì các em sẽ trở thành vô nghĩa. Khi chúng có ý định vùng lên tiếp, các em hãy nhớ rằng chỉ có hai con đường : hoặc là tuân theo chúng, hoặc là trở thành như chúng ta đây, những Vô Cùng Lớn.

Leave a comment »

Ảnh hưởng của Toán học

GS Nguyễn Xuân Vinh có phổ biến một bài viết tựa đề là “Học Toán để làm gi” GS kết luận bài viết của mình bằng vài câu chuyện về ảnh hưởng của toán học đền mọi ngành.
Phần kết luận đó được  trích đăng ở đây, dưới tựa “Ảnh hưởng của Toán học”,  mong được GS cho phép.

Ảnh hưởng của toán học

Ý niệm về toán học đã đến với loài người từ thuở nguyên thủy, khi con người biết suy nghĩ, biết phân biệt những đại lượng là lớn hay nhỏ, nhiều hay ít, biết dòng thời gian là trước hay sau khi ngắm vũ trụ chuyển vần, và thời tiết thay đổi trong năm. Trí tuệ nẩy nở dần dần đã giúp cho loài người xây dựng nên lâu đài toán học để phục vụ cho đời sống và giờ đây toán học đã là công cụ cần thiết để khai triển và hoàn tất mọi ngành hiểu biết của loài người dù là khoa học thuần túy hay xã hội học, hay kinh tế, nhân văn. Để đưa ra chứng dẫn, tôi muốn kết luận bài viết này bằng vài câu chuyện về ảnh hưởng của toán học đền mọi ngành.

1. Nhà bác học vĩ đại của thế kỷ 20 là Albert Einstein đã công bố “lý thuyết tương đối đặc biệt” của ông vào năm 1905, và đặt ra một cơ sở để mở ra chân trời tươi sáng cho vật lý học hiện đại. Sau đó, từ vài giả thuyết ban đầu và dùng phương pháp tư duy toán học chặt chẽ ông đã đi đến kết luận rằng khi ánh sáng đi qua một thiên thể nào đó thì do sức hút của thiên thể, tia sáng sẽ bị bẻ cong đi. Ông viết một công trình nhan đề “Về ảnh hưởng của trọng trường đối với tia sáng” và công bố “lý thuyết tương đối tổng quát” vào năm 1915. Nhưng muốn kiểm nghiệm bằng thực tế, ta phải dùng tia sáng đến từ các vì sao và sức hút của mặt trời là một thiên thể lớn có trọng lượng lớn hơn của trái đất 300 ngàn lần. Nhưng vì mặt trời lúc nào cũng sáng chói lọi nên thường ngày ta không thể nào quan sát những tia sáng các vì sao mà chạy qua gần mặt trời xem có bị bẻ cong đi hay không. Bốn năm sau, vào ngày 29 tháng 5 năm 1919, có nhật thực toàn phần và mặt trời bị mặt trăng hoàn toàn che khuất. Lúc đó người ta có thể quan sát những vì sao ở phía sau mặt trời, giờ đã trở nên tối đen. Hội khoa học Hoàng gia Anh quốc đã cử hai phái đoàn, một phái đoàn đi Brazil ở Nam Mỹ để quan sát và một phái đoàn thứ hai gồm nhiều khoa học gia dưới sự hướng dẫn của nhà thiên văn học Eddington đã tới đảo Principe ở Tây Phi châu để đo độo lệch khi đi qua mặt trời của các tia sáng đến từ các vì sao. Kết quả đo được là tia sáng đã bị lệch đi 0.0005 độ tức là gần đúng với kết quả đã được tính trước bằng toán của Einstein là 1.75 giây = 0.000486 độ.

2. Một thí dụ kỳ diệu khác nữa về khả năng suy luận của toán học là sự  tạo thành bảng các nguyên tố hóa học của nhà bác học người Nga Dmitry Ivanovich Mendeleyev (1834-1907). Ông đã không cần qua đường thực nghiệm, dùng những chai lọ thủy tinh, ống dẫn và các nồi chưng cất như thấy ở trong các phòng thí nghiệm, mà đã vận dụng lý thuyết cấu trúc để sắp xếp các nguyên tố hóa học vào một bảng hệ thống tuần hoàn mà giờ đây các học sinh trung học ai cũng phải học. Để xác định các nguyên tố này, Mendeleyev đã dựa vào tương quan định lượng giữa các nguyên tố, và tương quan này có tính chất thuần túy toán học. Bảng Mendeleyev khi đặt ra có nhiều ô trống và năm 1871 ông đã dự đoán rằng trong thiên nhiên có một số nguyên tố hóa học chưa được phát hiện. Nhà hóa học này đã đặc biệt mô tả cặn kẽ những tính chất của ba nguyên tố trong những ô để trống. Liền trong những năm sau thì vào năm 1875 một nguyên tố được phát hiện ở Pháp và được đặt tên là Gallium. Năm 1879 người ta tìm được nguyên tố mới ở Thụy Điển và được đặt tên là Scandium và sau đó vào năm 1886 nguyên tố mới được phát hiện ở Đức đã được đặt tên là Germanium. Những phát minh này đã làm phấn khởi các khoa học gia trên toàn thế giới và nhờ ở sự hướng dẫn toán học của bảng Mendeleyev mà ngưới ta đã hoặc tìm ra hay tạo thêm ra nhiều nguyên tố mới, nay được mang tên các miền như Europium (1901), Americum (1946), Berkelium (1950), hay tên những vĩ nhân trong lâu đài khoa học như Curium (1946), Fermium (1955), Einsteinium (1955), Nobelium (1957) vân vân …

3. Khi còn học ở những lớp dưới bậc trung học, đôi khi ta phải giải những bài toán hình học như là vẽ một vòng tròn chạy qua ba điểm, hay giải những bài toán đại số như là tìm phương trình của một hình el-lip chạy qua năm điểm, và đôi khi ta cũng tự hỏi là làm được những điều này thì có ích lợi gì trong thực tế. Những chuyên gia toán pháp thường không phải là những người muốn làm giầu khi phục vụ cho toán học mà chỉ lấy niềm vui khi tìm được một định lý mới hay giải xong một vấn đề hóc hiểm để làm phần thưởng tinh thần. Đôi khi có những bài giải toán tưởng như chỉ để trả lời một thách đố của thời đại và không có ích dụng gì trong thực tế, vậy mà mấy trăm năm sau lại trở thành hệ trọng cho sự tồn vong của loài người . Để lấy một thí dụ, tôi xin kể tiếp một câu chuyện về thiên văn.

Mặt trời là một ngôi sao trung bình và là tâm hấp lực của những hành tinh và những sao chổi làm thành Thái Dương Hệ của chúng ta. Trong vũ trụ có thể có nhiều ngôi sao khác có những hành tinh quay chung quanh và làm thành những thái dương hệ tương tự. Kể cả trái đất, có tất cả 9 hành tinh quay quanh mặt trời theo những qũy đạo là những hình el-lip mà mặt trời là một tiêu điểm. Lấy khoảng cách trung bình từ trái đất đến mặt trời làm đơn vị thì, kể từ trong ra ngoài, ta có những hành tinh sau đây cùng với khoảng cách trung bình tới mặt trời ghi ở cột cuối

Thủy tinh (Mercury) 0.387; Kim tinh (Venus) 0.723; Trái đất (Earth) 1.0
Hỏa tinh (Mars) 1.524; Mộc tinh (Jupiter) 5.203; Thổ tinh (Saturn) 9.539
Thiên Vương tinh (Uranus) 19.18; Hải Vương tinh (Neptune) 30.07;
Diêm Vương tinh (Pluto) 39.44

Trừ trái đất ra thì năm hành tinh đầu đã được tìm thấy từ thời cổ. Ba hành tinh sau cùng lần lượt được tìm thấy vào những năm 1781, 1846 và 1930. Vào năm 1772 một nhà thiên văn học người Phổ tên là Bode đã đặt ra một số liệt khá diệu kỳ để cho những khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời . Mới đầu ta viết ra một hàng số

0 3 6 12 24 48 96 192

Bắt đầu từ số thứ hai, mỗi lần nhân đôi lại được số tiếp nối. Sau đó cộng thêm 4 để được một dẫy số khác .

4 7 10 16 28 52 100 196

Bây giờ nếu đem chia cho 10 thì sẽ được một hàng số cho khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời

0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6

Ta nhận thấy bốn số đầu cho gần đúng những khoảng cách của Thủy tinh (0.387), Kim tinh (0.723), trái đất (1.0) và Hỏa tinh (1.524). Con số thứ năm là 2.8 thì không đúng vào hành tinh nào cả. Những số tiếp sau là 5.2, 10 và 19.6 có thể dùng để chỉ những khoảng cách tới mặt trời của Mộc tinh (5.203), Thổ tinh (9.539) và Thiên vương tinh (19.18). Lối tính này được người ta gọi là định luật Bode nhưng định luật này không được coi như là một định lý toán học vì không dựa lên một lý luận chặt chẽ nào cả. Ngoài tính cách huyền bí, định luật Bode cũng nhiều lúc gây sôi nổi trong giới khoa học. Sau khi định luật được loan ra mấy năm thì nhà thiên văn học Anh quốc Hershel (1738-1822) tìm thấy Thiên vương tinh vào năm 1781 ở khoảng cách trung bình là 19.18 cũng gần trùng hợp với dẫy số của Bode. Điều lạ kỳ là giữa Hoả tinh và Mộc tinh có một khoảng trống, không có hành tinh nào, mà theo định luật Bode thì lại có khoảng cách 2.8. Vào năm 1801 người ta phát hiện ra một hành tinh nhỏ trên bầu trời. Vừa đặt tên hành tinh là Cérès thì tiểu hành tinh này mà bề ngang chưa tới một ngàn cây số đã đi vào khoảng trường vũ trụ khó quan sát từ trái đất vì vướng ánh dương quang. Người ta chỉ còn ghi được một vài tọa độ trước đây của Cérès mà điều khó khăn hơn nữa là vào thời ấy các nhà thiên văn học chỉ dùng kính quan sát để đo được hướng nhắm mà không có cách nào để đo khoảng cách. Nhà toán học Đức quốc lừng tiếng thời bấy giờ, và có lẽ cả thiên thu sau này, là Carl Friedrich Gauss (1777-1855) đã bắt tay vào việc và ông đã tính ra được qũy đạo của Cérès với khoảng cách trung bình tới mặt trời là 2.67. Chiếu theo dự tính của Gauss, các nhà thiên văn học quan sát vùng trời ấy và tìm lại được tiểu hành tinh Cérès. Cuộc truy tìm những hành tinh nhỏ mới lạ tiếp diễn và sau đó các nhà thiên văn học lại tìm thêm ra được mấy trăm tiểu hành tinh chạy theo những hình el-lip để làm thành một vòng đai chung quanh mặt trời với cận điểm vào khoảng 1.76 và viễn điểm đi xa tới 4.25 đơn vị khoảng cách thiên văn mà ta đã lấy là khoảng cách trung bình từ trái đất tới mặt trời. Như thế thì định luật Bode cũng còn đúng cho vùng không gian giữa Hỏa tinh và Mộc tinh. Sau những phép tính của Gauss, nhiều nhà toán học chú ý đến phép tính những qũy đạo của các hành tinh ở xa mặt trời nhưng lại gần những hành tinh lớn khác để có thể bị nhiễu loạn. Nhà thiên văn học Pháp là Le Verrier (1811-1877) nhận thấy rằng qũy đạo của Thiên vương tinh đi lệch không đúng như tiên đoán. Ông đặt giả thuyết rằng có một hành tinh nữa ở ngoài Thiên vương tinh và vì thế trọng trường của nó có tác dụng nhiễu loạn vào hành tinh này. Sau khi đã làm nhiều bài tính phức tạp, ông cho biết những phần tử về quỹ đạo của một hành tinh mà ông phỏng đoán sự hiện hữu trước đây. Ngày 18 tháng Chín năm 1846, Le Verrier viết cho nhà thiên văn học Galle ở Berlin và nhờ tìm kiếm hành tinh đó ở điạ điểm ông dự đoán bằng phép tính. Năm hôm sau, vào ngày 23 tháng Chín, Galle đã tìm thấy hành tinh mới, sau này đươc đặt tên là Hải vương tinh, chỉ cách vị trí Le Verrier dự đoán có 1 độ mà thôi. Khoảng cách trung bình cuả Hải vương tinh đến mặt trời là 30.1, nghiã là sai lệch nhiều so với khoảng cách 38.8 tính theo luật Bode. Sau này khi tìm thêm ra Diêm vương tinh vào năm 1930 thì sự sai trật lại còn lớn hơn nữa và luật Bode chỉ còn được coi như là một phương thức tình cờ dùng để nhớ nhũng khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời mà thôi.

Quay trở lại phương pháp tìm quỹ đạo của Cérès do Gauss đã đề ra, lúc mới đầu các nhà toán và thiên văn học chỉ biết khâm phục tài năng xuất chúng của nhà bác học, với những giữ kiện không đầy đủ, chỉ có hướng nhắm mà thôi, ở một vài thời điểm quan sát, mà cũng tìm được ra qũy đạo cả về chiều dài và rộng, độ nghiêng, và nhất là theo dõi được chuyển động của hành tinh ở trên quỹ đạo này. Những hành tinh nhỏ, nhiều khi chỉ được coi như  những tảng đá trời bề rộng chỉ là vài cây số, nhưng được tìm thấy càng ngày càng nhiều, bằng những kính thiên văn tối tân vằ phim ảnh nhậy cảm, và vào đầu thiên niên kỷ thứ ba thì tính ra người ta đã ghi nhận được gần mười ngàn tiểu hành tinh làm vòng đai chạy giữa Hỏa tinh và Mộc tinh. Một vài tiểu hành tinh chạy theo những hình el-lip thật dài và có điểm cận nhật lọt vào trong qũy đạo của Hỏa tinh. Chẳng hạn tiểu hành tinh Eros, tìm thấy năm 1898 đã có lần tới sát địa cầu có một khoảng bằng 0.13 đơn vị dộ dài thiên văn mà thôi. Người ta đã lo sợ rằng có những hành tinh nhỏ bị nhiễu loạn bởi những hành tinh lớn mà có thể chuyển hướng mà va chạm với trái đất và vào cuối thế kỷ 20, đã có những chuyên gia nghiên cứu phương thức để thay đổi qũy đạo tiểu hành tinh. Trên mặt địa cầu giờ đây cũng có những đe dọa khác. Một vài hỏa tiễn có sức phá hoại mãnh liệt, nếu lọt vào tay những kẻ sát nhân hay điên khùng cũng có thể gây nên những tai hoạ khôn lường cho nhân loại. Vì vậy trong những phương thức dùng hỏa tiễn để chống hỏa tiễn, tính được đường đạn đạo của kẻ địch một cách nhanh chóng là điều tối cần thiết và phương pháp tính của Gauss, giờ đây được tu chỉnh để làm cho hoàn hảo và chính xác hơn nhờ có thêm giữ kiện về khoảng cách đo được bằng ra-đa, đã là bằng chứng rằng toán học phục vụ cho hoà bình.

Trong các thế kỷ trưóc đây, sinh vật học được coi là một ngành xa lạ với toán học. Vậy mà từ thế kỷ 19 và sang đầu thế kỷ 20, khoa học đó ra sức lôi kéo toán học về phía mình. Càng đi dần vào khảo cứu, các nhà sinh vật học càng thấy cần đến toán học, và nhiều người đã trở thành những nhà toán học lỗi lạc. Để phát triển học thuyết di truyền, rất nhiều nhà sinh vật học đã tốn công sức xây dựng lý thuyết mô hình, lý thuyết xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết tổ hợp … là những lý thuyết toán học khá phức tạp.

Muốn đi vào nghiên cứu và phát minh, toán gia cần phải có một bộ óc giầu tưởng tượng, phải có chút ít thơ mộng , vượt qua những tầm thường của thế tục.

Nhà toán học Đức quốc lừng danh Karl Weierstrass (1815-1897) của thế kỷ 19 đã viết rằng: “It is true that a mathematician who is not also something of a poet will never be a perfect mathematician”, tạm dịch là : “Thật đúng vậy là một toán gia nếu không cùng một lúc là một thi sĩ thì không thể nào là một toán gia vẹn toàn được”. Vì tin ở lời nói của Weierstrass, là một toán gia tôi rất hâm mộ, nên đôi khi trăn trở về một bài toán mà tôi chưa tìm ra được lời giải toàn vẹn, một lời giải chưa thật “élégant” như  đôi khi tôi đã phát biểu trong lớp đang dậy, tôi cũng đã từng đổi bút, làm thơ. Dưới đây là một bài tiêu biểu.

Tình Hư Ảo


Anh tìm em trên vòng tròn lượng giác,
Nét diễm kiều trong tọa độ không gian.
Đôi trái tim theo nhịp độ tuần hoàn,
Còn tất cả chỉ theo chiều hư ảo.
Bao mơ ưóc, phải chi là nghịch đảo,
Bóng thời gian, quy chiếu xuống giản đồ.
Nghiệm số tìm, giờ chỉ có hư vô,
Đường hội tụ, hay phân kỳ giải tích.
Anh chờ đợi một lời em giải thích,
Qua môi trường có vòng chuẩn chính phương.
Hệ số đo cường độ của tình thương,
Định lý đảo, tìm ra vì giao hoán.
Nếu mai đây tương quan thành gián đoạn,
Tính không ra phương chính của cấp thang.

Nguyễn Xuân Vinh

Leave a comment »

Lầu Hoàng Hạc

Lúc này cái tâm thức vọng tưởng của ta đã vượt không gian hay thời gian rồi , ta hòa nhập không gian này với tâm trạng của ta . Cảm thấy cõi đời có những tuyệt tác phi thường mà tưởng như  nó chỉ có trong mộng ảo , không thực . Cái không thực ấy có khi là nguồn khí nuôi dưỡng tâm hồn ta .

Bài thơ hay quá , ta đã đọc bài thơ  bên áng hương trầm

HOÀNG  HẠC LÂU

Tích nhân dĩ thừa hoàng hạc khứ

Thử  địa  không dư  Hoàng Hạc lâu

Hoàng hạc nhất khứ  bất phục phản

Bạch vân thiên tải không du du

Tình xuyên lịch lịch Hán – Dương thụ

Phương thảo thê thê Anh – Vũ châu

Nhật mộ hương quan hà xứ  thị

Yên ba giang thượng sử  nhân sầu!

Hạc vàng

xem hình ảnh

Lầu Hoàng Hạc

Hạc vàng ai cưỡi đi đâu,
Mà nay Hoàng Hạc riêng lầu còn trơ.
Hạc vàng đi mất từ xưa,
Ngàn năm mây trắng bây giờ còn bay.
Hán Dương sông tạnh cây bày,
Bãi xa Anh Vũ xanh đầy cỏ non.
Quê hương khuất bóng hoàng hôn,
Trên sông khói sóng cho buồn lòng ai.

Theo truyền thuyết, khu đất lầu Hoàng Hạc cổ xưa vốn là một quán rượu của một người tên Tân. Một hôm có một vị thiền sư  theo Lão Giáo ghé quán nầy nghỉ chân, và được chủ quán mời rượu không tính tiền. Để đền ơn chủ quán, vị thiền sư vẽ hình một con hạc vàng lên bờ tường và khi vỗ tay khi con hạc nhảy múa rất đẹp mắt. Từ khi có hiện tượng kỳ lạ nầy, quán rượu thu hút rất nhiều khách thập phương và vị chủ quán trở nên giàu có. Khoảng 10 năm sau, vị thiền sư trở lại thăm quán rượu, lần nầy vị thiền sư thổi sáo và sau đó vỗ tay gọi cánh hạc bay ra và cưỡi lưng hạc về trời. Để ghi nhớ cảnh tượng kỳ lạ và cơ duyên trong việc gặp gỡ vị thiền sư huyền bí nầy, người chủ quán giàu có gọi nhân công xây một căn lầu gọi tên là Hoàng Hạc Lâu (lầu Hoàng Hạc).

Theo sử liệu ghi chép thì lầu Hoàng Hạc được xây vào năm 223 (AD) sau Công Nguyên . Sau khi hoàn thành xong thì lầu Hoàng Hạc là nơi các vị hoàng tộc triều đình và các văn thi sĩ, tao nhân mặc khách thường lui tới chốn nầy để ngắm cảnh và làm thơ. Theo tài liệu văn học Trung Quốc thì có khoảng 300 bài thơ tả cảnh lầu Hoàng Hạc, nhưng chỉ có bài thơ của Thi Sĩ Thôi Hiệu là xuất sắc nhất, phổ thông nhất, có giá trị nghệ thuật vượt không gian và thời gian, được lưu truyền mãi cho đến ngày nay.

Lầu Hoàng Hạc nguyên thủy được làm bằng gỗ, sau khi bị hỏa hoạn nhiều lần, lầu được trùng tu lại nhiều lần. Công việc trùng tu được bắt đầu từ năm 1981, và hoàn thành năm 1985, và cũng trong năm này được mở ra cho công chúng vào thăm viếng. Hoàng Hạc Lâu nguyên thủy là một kiến trúc bằng gỗ chạm trổ gồm ba tầng, ở trên đỉnh bằng đồng. Lầu Hoàng Hạc ngày nay trông lộng lẫy hơn, gồm năm tầng, cao 51.4 mét (cao hơn kiến trúc cũ 20 mét). Tầng thấp nhất có kích thước 20 mét mỗi bề (lầu cũ chỉ có 15 mét), nên du-khách biết ngay đây là một kiến trúc xây lại hoàn toàn mới, chứ không phải tu bổ từ  căn lầu cũ. Tuy lầu Hoàng Hạc mới được xây lại dựa trên quan điểm thẩm mỹ hiện đại và kỹ thuật kiến trúc tân thời, nhưng vẫn còn giữ lại những đặc tính văn hóa và nét đẹp cổ truyền của lầu Hoàng Hạc cổ xưa.

Leave a comment »

Thuyết tương đối

Thuyết tương đối đặc biệt , Einstein đã chứng minh rằng thời gian và không gian phụ thuộc vào trạng thái di chuyển của vật chất . “Thuyết tương đối tổng quát ” đã chứng minh sự hiện hữu của vật chất đã làm “co giãn”thời gian , “méo mó” không gian . nhờ Einstein, ngày nay người ta biết rằng chính vật chất và sự  vận động của nó đã phát sinh ra thời gian và không gian . Thời gian và không gian là “thuộc tính” , là “phát biểu” của vật chất . Không có một sân khấu bất di bất dịch mà chính là diễn viên  ở đâu thì chỗ đó có sân khấu . Không có diễn viên thì cũng không có sân khấu.

Khi con người ngắm nhìn vũ trụ thì đó là cảnh tượng của một cái giả hợp ngắm nhìn một cái giả hợp khác và tưởng cả hai đều thực có . Đó chính là sự  nhầm lẫn lớn nhất của cảm quan và ý thức . Đó là “vọng tâm”, là nguyên ủy của thế giới và con người là cơ nguyên của mọi dạng tồn tại . Trong vọng tâm thì mọi sự  đều có , nhưng chúng không thực có . Thế nên tất cả đều có và tất cả đều không.

Comments (2) »

Đêm Qua Sân Trước Một Cành Mai

“Xuân khứ  bách hoa lạc
Xuân đáo bách hoa khai
Sự trục nhãn tiền quá
Lão tòng đầu thượng lai
Mạc vị xuân tàn hoa lạc tận
Đình tiền tạc dạ nhất chi mai”

Thiền sư  Mãn Giác

“Xuân ruổi trăm hoa rụng
Xuân đến trăm hoa cười
Trước mắt việc đi mãi
Trên đầu già đến rồi
Đừng tưởng xuân tàn hoa rụng hết
Đêm qua sân trước một nhành mai”
(Ngô Tất Tố dịch)

Đêm qua sân trước một cành mai

Tích tịch tình tang
Vỗ gươm mà hát, nghiêng bầu mà hỏi
Trời đất mang mang ai người tri kỷ.
Lại đây cùng ta cạn một hồ trường
Hồ trường hề! Hồ trường!
Ta biết rót về đâu
Rót về Đông phương, biển Đông nổi sóng sinh cuồng loạn
Rót về Bắc phương, ngọn Bắc phong heo hút cát chạy đá giương
Rót về Tây phương, mưa Tây sơn từng trận chứa chan
Rót về phương Nam, trời Nam mờ mịt.
Có người quá chén như  điên như  cuồng (1)

Tung rải từ tâm khắp vũ trụ
Mở rộng tình thương không giới hạn
Tầng trên, tầng dưới và khoảng giữa
Không vướng mắc, oán thù, ghét bỏ.

Bỗng nhiên, nàng thấy mình đi từ  thế giới này qua thế giới khác, như  đi cả vũ trụ. Tâm tư  thế nào, thế giới ấy liền biểu lộ, không hề vướng mắc. Mỗi thế giới đều có một thanh âm khác nhau, chỗ nhẹ nhàng, nơi bi lụy, chốn say đắm, nơi thâm trầm. Nàng sực nhớ lời người lữ  khách “Trong các loại thanh âm, thì im lặng là thanh âm vi diệu nhất”. Vừa nhớ tới câu đó, một thế giới thù thắng hiện ra, đầy âm thanh mỹ  diệu trầm bổng mà nàng chưa bao giờ được nghe.

Leave a comment »

Tình Bạn

Bạn của tôi là gió , mây …mang đến cho tôi những nguồn nước ấm áp .

Nơi cất giấu tình bạn

Tôi xây cho mình một vương quốc riêng. Vương quốc đó chỉ toàn là châu báu ngọc ngà. Có những quyển sách đi theo tôi từ thuở ấu thơ, có những câu chữ vụng về khi tập trải lòng mình lên giấy, có niềm đam mê một môn thể thao, có những bài hát mà giai điệu có thể ru hồn tôi trong dòng chảy tha thiết, êm ái. Và quan trọng nhất là những người bạn…

Bạn của tôi giống những hạt pha lê lấp lánh. Cất kỹ trong hộp thì sẽ mờ đi, nhưng nếu đeo thường xuyên thì mỗi ngày mỗi sáng thêm .

Bạn của tôi như tia nắng mai, chiếu sáng, rực rỡ, trong lành, không vướng cát bụi. Sáng sớm, tôi đi giữa chút nắng long lanh phảng phất trên những hạt sương đêm mà cảm nhận sự bình yên trong tâm hồn.

Bạn của tôi tựa con đường lặng lẽ để những lần ngơ ngẩn giữa cuộc sống bộn bề có thể đặt dấu chân an lành. Con đường giữa đêm tối có vầng sáng dịu dàng trải lên, tôi thanh thản bước qua những muộn phiền cùng sự đồng cảm sâu sắc trong thinh lặng.

Bạn của tôi là gió, êm đềm và mát rượi. Gió thổi, gió rong chơi, gió huyền bí và gió đi hoang. Những câu chuyện bất tận về đời sống, những bài ca hùng vĩ về đất trời, dệt nên muôn màu sắc âm thanh quanh một tôi nhỏ bé và khép mình.

Bạn của tôi giống mưa. Mưa buổi sáng như rải ngọc, dịu dàng và thơm thảo. Mưa buổi trưa xoa dịu những muộn phiền và vẽ mảng màu huyền hoặc trên đường về. Mưa buổi chiều mạnh mẽ và say mê, như đàn một bản nhạc rộn rã. Mưa đêm rả rích, khẽ vỗ về giấc mơ ngoan. Tôi ngồi nhìn mưa, tôi đi dạo giữa màn mưa bất tận, nép mình vào ảo tưởng để lãng quên bụi đường, chân mỏi.

Bạn của tôi là cánh đồng sau mùa gặt còn thơm mùi lúa mới, còn ngất ngây vị sữa từ lòng đất mẹ, còn gian khó gốc rạ quắt queo mà vàng màu rơm rực rỡ giữa ký ức xa xăm…

Bạn của tôi tựa dòng sông chảy miết. Tiếng hát ma mị của nước, sự trù phú đôi bờ, bờ cát sỏi in hằn dấu chân vỗ lên những mơ ước xa vời của tôi niềm an ủi diệu vợi.

Thế mà… Một ngày chợt nhận ra.

Chuỗi hạt pha lê đứt tung vì sợi dây lõi quá mỏng manh.

Nắng sớm lẫn bụi làm cay mắt người đồng hành.

Con đường không còn dành cho riêng tôi, những vết chân giẫm lên nhau, xô đẩy, ồn ào, tôi trượt khỏi chuyến đi tìm đồng cảm với bao nhiêu hụt hẫng.

Gió giận dữ đập vào mắt, đau. Không dịu dàng, không mơn man, hiếu thắng và hung dữ đạp đổ tất cả. Tôi nhốt mình trong phòng kín, mình và gió, chẳng quen biết nhau!

Mưa quấn chân những lúc cần vội vã. Cứ yếu đuối mà làm mê muội người ta luẩn quẩn trong ma trận của chính mình.

Cánh đồng ngăn không cho tôi vào nữa, thế giới ấy giờ đầy những ngọn rơm rớm máu, tự cứa vào mình sự trăn trở giữa phồn hội đô thành.

Dòng sông không xanh màu cây lá, mây trời mà vẩn đục khó hiểu. Nước không thể cất tiếng hát, bờ chẳng chân thành cát sỏi ngây ngô. Sông vét hết tinh hoa cho miền nào xa lắc để tôi cô đơn nhìn như một kẻ xa lạ.

Có lẽ giấc mơ nào cũng thế, dẫu có ám ảnh thì cũng nhạt nhòa đi!

Thôi, tôi không cất tình bạn vào thiên nhiên nữa, kẻo làm mờ nét tinh khôi đất trời. Tôi cất bạn tôi vào tim mình vậy, mỗi lần hụt hẫng là một lần thêm vết thương sâu. Nhưng có hề gì đâu, sau những lần vấp ngã tôi sẽ biết trân trọng những điều quý giá đích thực một cách trọn vẹn hơn.

Vương quốc tôi bây giờ có những kho báu rỗng. Tôi vẫn để đấy mà ngắm nhìn – minh chứng của một thời dường như sắp đi qua!

Leave a comment »